,和I′±是I±的线性组合。我们综合介绍了此广义积分的几种解法，分析了由高等数学知识求解此类实变函数积分的限制性，并讨论了传统方法的繁琐性。

　　无界、半无界区间是数学物理问题中常常采用简化模型而涉及的感兴趣的研究区域。在实际问题中往往会遇到一类无穷积分，其被积函数为

　　现有数学物理方法教材中, 多将这个被积函数f±(x)的两个参数n和α取一些特殊整数值，再利用留数定理的方法求出积分。例如数学物理方法［1］计算的I+取α=1,n=3,4。计算的I′+取α－1,n为偶数［2］。计算的I+取α=1,n≥2［3,4］。计算的I′－取α=1,n=4［5］。计算的I+取α为奇数与n为偶数和α=2,n=5［6］。计算的I′+取α=5,n=6［7］。计算的I′－取α=1,n为奇数［8］等。特别是最近计算I±时［9］，取α=1,n≥2,并且采用多种弧形闭回路。［1］仅提及了扇形围道,并没有分析讨论之。在小系统的统计理论中，“矩”的阶数n就是从 1 到无穷的正整数。我们将现有计算推广到一般的n≥1和实数0

　　首先，这类积分在高等数学教材中已经利用Beta函数和Gamma函数的定义与性质求出［3］：作非线性变换，令y=xn∈［0,∞),则x=y1/n,dx=

　　。考虑选取如图 1 所示的围道有三点考虑：此弧度上的直线积分与I+成正比；回路内仅仅有一个奇点；此围道并不经过从x=0－到x=0+的路径，因而xα－1的多值性不影响积分结果。这个积分回路可简记为

　　。考虑如图 2 所示的围道，回路内没有奇点, 奇点在z=1,ei2π/n处。分别取小圆弧c1,c2，其半径r1→0,r2→0。如此选择的围道，此弧度上的直线积分与I－成正比并且是最小扇形。

　　。实轴上的z=1 和不在实轴上的z=ei2π/n都是直线积分遇见的单阶极点，我们取两个小半圆弧将极点绕过去。两个小半圆弧的弧度均为π(相位差均为－π)。对于

　　在积分回路内没有奇异性，所以根据留数定理，回路积分为∮c=0。将上述结果相加得到

　　在高等数学教材求积分I+时［10］，还可取具体的y=xn=tan2θ,θ∈［0,π/2］，则I+=

　　但是，利用高等数学知识求实变函数积分I－时，由于实轴上存在发散，情况就复杂多了。为了消除发散，作分段积分

　　发散(x=1是函数的单阶极点)。下面就α=m取正整数并且 1≤m≤n－1,n≥2 来论证其积分主值存在。

　　,其数值及其正负依赖于参数n和m的取值。特别地取n=2m≥2,则g(t)=0,积分值为零。而

　　显然地，t=1 是被积函数g(t)分母的单阶零点。考查g(t)分子的行为需要分两种情况。

　　的结果呢？分析表明，对于一般的n≥2,1≤m,上述四种情况均没有解析的积分结果。然而对于确定的n,m,上述四种情况的数值结果完全等于简洁结果

　　完全相同于教材中这类特殊积分的结果，这是因为我们的最小扇形积分回路也变成教材中带割线的整个大圆围道了。

　　,传统做法就是考虑上半复平面的大圆弧积分回路。虽然被积函数要经过x=0 的分支点，但是它仅仅贡献一个相因子eiαπ,而对回路积分没有贡献。我们以n为偶数分别计算这两个积分。

　　b) 对于计算I′－,除被积函数f－(z)在上半平面单位圆z=ei2kπ/n处有n/2－1个单阶极点(k=1,2,…,n/2－1)以外，在实轴z=1,－1 处有两个单阶极点(x=0 分支点对回路积分没有贡献)。实轴上z=±1 两个极点的留数为

　　完全相同于上半复平面大圆弧回路的式(15)的结果。当α=m为偶(奇)整数时，eiαπ=±1,整个被积函数

　　。这些简洁结果表明，不但在一维半无界区域的广义积分I±彰显出选择最小扇形积分回路的优越性，而且在一维无界区域的广义积分I′±仅仅是I±的一种带相因子eiαπ的线性组合。事实上，无界区域的积分与被积函数的奇偶性和相因子eiαπ密切相关。半无界区域与无界区域的空间对称性不同。半无界区域积分I±的结果很容易地推广到无界区域的积分I′±。反之不然: 由于空间对称性的原因，既要给定n的奇偶性，又要计算

　　在实轴上和上半平面内单位圆上的所有留数。当我们用复平面最小扇形积分回路计算时，虽然被积函数存在奇异性，但是简洁的结果即I±表达式与整数n(n≥1)的奇偶性和xα－1(0

　　时, 对应不同n,α=m奇偶性的四种情况，虽然被积函数的奇异性均被消除，但是仍然没有解析表达的积分结果；上半大圆围道的复变函数积分I′±亦较为复杂；整个大圆围道的复变函数积分,不但更为复杂，而且还限制α为非整数。我们的最小扇形回路积分一网打尽了所有结果。

　　。通过选择弧度为 2π/n的大圆弧构成的最小扇形积分回路，得到简洁的结果：

　　。既推广给定n整数到任意整数，又将≤π的辐角(对于n2,两个积分对应的围道内分别包住了n/2,n/2－1个奇点)缩小成了 2π/n(分别包住了1,0个奇点)。计算量减少，适应性增强。其次，将一维无界区域的广义积分

　　变成了简单的代数运算。隐含了空间对称性及其破缺对积分结果的影响。最后，我们综合介绍了此广义积分的几种解法，分析了用实变函数积分的限制性, 讨论了用其他围道计算此广义积分的繁琐性。

　　[1]吴崇试,高春媛.数学物理方法[M].3版. 北京: 北京大学出版社,2019.

　　[2]周治宁,吴崇试,钟毓澍.数学物理方法习题指导[M].1版. 北京: 北京大学出版社,2004.

　　[4]TRISTAN N.复分析——可视化方法[M].齐民友，译.北京：人民邮电出版社,2021.

　　[6]胡嗣柱,倪光炯.数学物理方法[M].2版. 北京: 高等教育出版社,2003.

　　[7]陆全康,赵惠芬.数学物理方法[M].2版. 北京: 高等教育出版社,2003.

　　[8]胡嗣柱,徐建军.数学物理方法解题指导[M]. 北京: 高等教育出版社,1997.

　　[10]金路，徐惠平.高等数学同步辅导与复习提高[M]. 3版.上海：复旦大学出版社,2018.

　　通讯作者: 马永利，男，复旦大学教授，主要从事理论物理科研和教学工作，研究方向为凝聚态理论与量子统计理论，

　　引文格式: 张子啸，杜学瑞，马永利. 利用留数定理对一类广义积分的推广[J]. 物理与工程，2023，33（4）：12-17.

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